Intervallschachtelung

1.3. Intervallschachtelung#

Die Intervallschachtelung ist ein einfacher Algorithmus um Nullstellen einer Funktion zu finden. In dieser Aufgabe wird der Algorithmus formal vorgestellt und auf eine nicht-lineare Funktion angewendet.

Aufgabenstellung#

Der nachfolgende Algorithmus beschreibt das Prinzip der Intervallschachtelung Schritt für Schritt.

Die linke Intervallgrenze bezeichnen wir folgend mit \(\sf a\), die rechte mit \(\sf b\). Starten Sie mit \(\sf a=0\) und \(\sf b=\pi/2\). Wiederholen sie die folgenden Punkte, bis \(\sf |a-b| < 0.1\) ist:

  • berechnen Sie \(\sf (b+a)/2\), ab nun \(\sf c\) genannt

  • berechnen Sie \(\sf f(c)\)

  • falls \(\sf f(c) > 0\) ist, setzen Sie die neue rechte Intervallgrenze \(\sf (b)\) gleich \(\sf c\)

  • falls nicht, setzen Sie die neue linke Intervallgrenze \(\sf (a)\) gleich \(\sf c\)

Aufgabenteil A#

Gegeben sei eine Funktion \(\sf f(x) = \sin(x) - 0.5\). Finden Sie die Nullstelle an der Stelle \(c\) auf dem Intervall \(\sf [0;\pi/2]\) indem Sie den Algorithmus der Intervallschachtelung anwenden. Geben Sie bitte für jede Wiederholung das aktuelle Intervall \(\sf [a;b]\) an.

Lösungshinweise#

Ergebnis der letzten Iteration:
a = 0.49087, b = 0.58905

Lösungsvorschlag#

Hide code cell outputs 
a = 0.0, b = 0.7854
a = 0.3927, b = 0.7854
a = 0.3927, b = 0.58905
a = 0.49087, b = 0.58905
Die Nullstelle liegt bei c = 0.49087

Aufgabenteil B#

Erstellen Sie ein Flussdiagramm, welches den gegebenen Algorithmus visuell darstellt. Dabei stellen die Variablen \(a\) und \(b\) die Eingagnsgrößen und die Variable \(c\) die zu berechnende Zielgröße dar.

Lösungsvorschlag#

../../../../_images/intervallschachtelung.svg

Fig. 1.64 Flussdiagramm Intervallschachtelung#

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