1.3. Intervallschachtelung#
Die Intervallschachtelung ist ein einfacher Algorithmus um Nullstellen einer Funktion zu finden. In dieser Aufgabe wird der Algorithmus formal vorgestellt und auf eine nicht-lineare Funktion angewendet.
Aufgabenstellung#
Der nachfolgende Algorithmus beschreibt das Prinzip der Intervallschachtelung Schritt für Schritt.
Die linke Intervallgrenze bezeichnen wir folgend mit \(\sf a\), die rechte mit \(\sf b\). Starten Sie mit \(\sf a=0\) und \(\sf b=\pi/2\). Wiederholen sie die folgenden Punkte, bis \(\sf |a-b| < 0.1\) ist:
berechnen Sie \(\sf (b+a)/2\), ab nun \(\sf c\) genannt
berechnen Sie \(\sf f(c)\)
falls \(\sf f(c) > 0\) ist, setzen Sie die neue rechte Intervallgrenze \(\sf (b)\) gleich \(\sf c\)
falls nicht, setzen Sie die neue linke Intervallgrenze \(\sf (a)\) gleich \(\sf c\)
Aufgabenteil A#
Gegeben sei eine Funktion \(\sf f(x) = \sin(x) - 0.5\). Finden Sie die Nullstelle an der Stelle \(c\) auf dem Intervall \(\sf [0;\pi/2]\) indem Sie den Algorithmus der Intervallschachtelung anwenden. Geben Sie bitte für jede Wiederholung das aktuelle Intervall \(\sf [a;b]\) an.
Lösungshinweise#
Ergebnis der letzten Iteration:
a = 0.49087, b = 0.58905
Lösungsvorschlag#
Show code cell outputs
a = 0.0, b = 0.7854
a = 0.3927, b = 0.7854
a = 0.3927, b = 0.58905
a = 0.49087, b = 0.58905
Die Nullstelle liegt bei c = 0.49087
Aufgabenteil B#
Erstellen Sie ein Flussdiagramm, welches den gegebenen Algorithmus visuell darstellt. Dabei stellen die Variablen \(a\) und \(b\) die Eingagnsgrößen und die Variable \(c\) die zu berechnende Zielgröße dar.
Lösungsvorschlag#
Fig. 1.64 Flussdiagramm Intervallschachtelung#