Funktion für π-Näherungsformel

2.7. Funktion für π-Näherungsformel#

In dieser Aufgabe wird eine Näherungsformel für die Zahl π in einer Funktionen selbst definiert und eingesetzt.

Aufgabenteil A#

Schreiben Sie eine Funktion, welche die folgende Näherungsformel für die Zahl π bis zum \(\sf N\)-ten Summanden auswertet. \( \sf \frac{\pi}{4} \approx \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k}{2k+1} \quad \quad \text{mit}\quad N\gg 1\)

Die Funktion soll \(\sf N\) als einziges Argument aufnehmen und den Näherungswert zurückgeben.

Lösungshinweis#

Die Richtigkeit ihrer Implementierung können Sie durch manuelle Auswertung der Näherungsformel für kleine \(\sf N\) stichprobenartig prüfen.

# so könnte der Funktionskörper aussehen
def naeherung_pi(N):
    # Ihre Berechnung
    pi = 3 # nur als Platzhalter
    return pi

Lösungsvorschlag#

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# Funktion zur näherungsweisen Berechnung von π
def naeherung_pi(N):
    p = 0
    for i in range(N+1):
        p += (-1)**i / (2*i+1)
    return p*4

Aufgabenteil B#

  • Schreiben Sie ein Skript, welches die obige Funktion für verschiedene Werte von \(\sf N\) aufruft und die Differenz zum angenährten Wert (3.141592653589793238) von π ausgibt.

  • Darüber hinaus soll auch der Faktor, um welchen sich die Differenz zwischen den gewählten \(\sf N\) verringert, ausgegeben werden. Speichern Sie dazu am besten die berechneten Näherungswerte in eine Liste und führen erst danach die Auswertung bzw. Ausgabe durch.

  • Betrachten Sie einen Wertebereich von \(\sf N\) zwischen 1 und 100.

Lösungshinweis#

pi_genau = 3.141592653589793238

So könnte beispielsweise ein Teil der Ausgabe aussehen.

N	 ~π			 ∆π			 Reduktionsfaktor
===========================================================================
10 	 3.232315809405594 	 0.09072315581580082 	 None
11 	 3.058402765927333 	 0.08318988766245994 	 1.0905550946757718
12 	 3.2184027659273333 	 0.0768101123375402 	 1.0830590547359698
13 	 3.0702546177791854 	 0.07133803581060771 	 1.0767062965044352
14 	 3.208185652261944 	 0.06659299867215074 	 1.0712542944914922
15 	 3.079153394197428 	 0.062439259392365276 	 1.0665244802742384
16 	 3.200365515409549 	 0.05877286181975583 	 1.0623824918353224
17 	 3.0860798011238346 	 0.055512852465958495 	 1.0587253079058843
18 	 3.1941879092319425 	 0.0525952556421494 	 1.0554726236841592
19 	 3.09162380666784 	 0.04996884692195325 	 1.0525609230947106

Lösungsvorschlag#

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# Funktion zur näherungsweisen Berechnung von π
def my_pi(N):
    p = 0
    for i in range(N+1):
        p += (-1)**i / (2*i+1)
    return p*4
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# Leere Listen, welche mit den N Werten und der zugehörigen 
# Näherung von π gefüllt werden
pis = []
Ns = []
ds = []

# Aufrufen der obigen Funktion für verschiedene Werte von N
for N in range(1,101):
    p = my_pi(N)
    
    # Füllen der Listen
    Ns.append(N)
    pis.append(p)
    ds.append(abs(p - 3.141592653589793238))
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# Tabellenkopf
print("N\t ~π\t\t\t ∆π\t\t\t Reduktionsfaktor")
print("="*75)

# Analyse und Ausgabe der Listenwerte
for i in range(len(Ns)):
    # f beinhaltet den Reduktionsfaktor
    f = None
    # f wird nicht für das erste Element berechnet, da es keinen
    # vorangehenden Vergleichswert gibt
    if i != 0:
        # Berechne Verhältnis
        f = abs(ds[i-1]/ds[i])
    # Ausgabe der Listeneinträge und des Reduktionsfaktors
    print(Ns[i], '\t', pis[i], '\t', ds[i], '\t', f)

N	 ~π			 ∆π			 Reduktionsfaktor
===========================================================================
1 	 2.666666666666667 	 0.47492598692312615 	 None
2 	 3.466666666666667 	 0.32507401307687367 	 1.4609780167534199
3 	 2.8952380952380956 	 0.2463545583516975 	 1.3195372362982452
4 	 3.3396825396825403 	 0.19808988609274714 	 1.2436503610101148
5 	 2.9760461760461765 	 0.16554647754361662 	 1.1965817034104895
6 	 3.2837384837384844 	 0.1421458301486913 	 1.1646242268974554
7 	 3.017071817071818 	 0.1245208365179753 	 1.1415425251192537
8 	 3.2523659347188767 	 0.11077328112908358 	 1.124105337034043
9 	 3.0418396189294032 	 0.09975303466038987 	 1.110475300387725
10 	 3.232315809405594 	 0.09072315581580082 	 1.0995322391884472
11 	 3.058402765927333 	 0.08318988766245994 	 1.0905550946757718
12 	 3.2184027659273333 	 0.0768101123375402 	 1.0830590547359698
13 	 3.0702546177791854 	 0.07133803581060771 	 1.0767062965044352
14 	 3.208185652261944 	 0.06659299867215074 	 1.0712542944914922
15 	 3.079153394197428 	 0.062439259392365276 	 1.0665244802742384
16 	 3.200365515409549 	 0.05877286181975583 	 1.0623824918353224
17 	 3.0860798011238346 	 0.055512852465958495 	 1.0587253079058843
18 	 3.1941879092319425 	 0.0525952556421494 	 1.0554726236841592
19 	 3.09162380666784 	 0.04996884692195325 	 1.0525609230947106
20 	 3.189184782277596 	 0.04759212868780294 	 1.0499393134890271
21 	 3.0961615264636424 	 0.04543112712615072 	 1.0475665407915518
22 	 3.1850504153525314 	 0.0434577617627383 	 1.0454088126808323
23 	 3.099944032373808 	 0.041648621215985226 	 1.0434381858014234
24 	 3.1815766854350325 	 0.039984031845239354 	 1.0416313536661026
25 	 3.1031453128860127 	 0.03844734070378042 	 1.0399687238006512
26 	 3.1786170109992202 	 0.03702435740942711 	 1.0384337067249407
27 	 3.1058897382719475 	 0.03570291531784564 	 1.0370121621670756
28 	 3.1760651768684385 	 0.03447252327864536 	 1.0356919634009636
29 	 3.108268566698947 	 0.03332408689084598 	 1.0344626513416892
30 	 3.1738423371907505 	 0.03224968360095737 	 1.0333151575433355
31 	 3.110350273698687 	 0.031242379891105898 	 1.0322415806146135
32 	 3.1718887352371485 	 0.030296081647355422 	 1.0312350044063563
33 	 3.112187242699835 	 0.029405410889958183 	 1.0302893491517713
34 	 3.1701582571925884 	 0.028565603602795253 	 1.0293992487902741
35 	 3.1138202290235744 	 0.027772424566218756 	 1.028559949264973
36 	 3.1686147495715193 	 0.027022095981726224 	 1.027767223719431
37 	 3.115281416238186 	 0.02631123735160701 	 1.0270173014145911
38 	 3.167229468186238 	 0.025636814596444957 	 1.0263068078378026
39 	 3.116596556793833 	 0.024996096795959932 	 1.025632714007916
40 	 3.1659792728432157 	 0.02438661925342256 	 1.0249922933639863
41 	 3.117786501758878 	 0.023806151830914946 	 1.0243830849534368
42 	 3.1648453252882898 	 0.023252671698496652 	 1.0238028618644315
43 	 3.118868313794037 	 0.022724339795756165 	 1.023249604058427
44 	 3.163812134018756 	 0.022219480428963045 	 1.0227214748970923
45 	 3.1198560900627124 	 0.021736563527080754 	 1.0222168007965309
46 	 3.1628668427508844 	 0.02127418916109125 	 1.0217340535278847
47 	 3.1207615795929895 	 0.020831073996803617 	 1.021271834777008
48 	 3.161998692995051 	 0.020406039405258092 	 1.0208288626276005
49 	 3.121594652591011 	 0.01999800099878213 	 1.0204039597008128
50 	 3.1611986129870506 	 0.01960595939725751 	 1.0199960427123733
51 	 3.12236366153074 	 0.01922899205905315 	 1.019604113260158
52 	 3.160458899625978 	 0.01886624603618481 	 1.0192272496697334
53 	 3.1230757220558845 	 0.018516931533908654 	 1.0188645997657053
54 	 3.1597729697623063 	 0.018180316172513145 	 1.0185153744413113
55 	 3.12373693372627 	 0.017855719863522967 	 1.0181788419325108
56 	 3.159135163814766 	 0.017542510224972663 	 1.017854322701459
57 	 3.124352555119114 	 0.01724009847067931 	 1.0175411848608447
58 	 3.158540589307148 	 0.016947935717354756 	 1.0172388400686097
59 	 3.1249271439289967 	 0.016665509660796385 	 1.016946739842151
60 	 3.157984995168666 	 0.016392341578872927 	 1.0166643722380413
61 	 3.125464669965414 	 0.016127983624379283 	 1.0163912588610293
62 	 3.157464669965414 	 0.015872016375620746 	 1.0161269521591283
63 	 3.125968606973288 	 0.015624046616505183 	 1.0158710329789729
64 	 3.1569763589112725 	 0.015383705321479368 	 1.0156231083476515
65 	 3.1264420077662343 	 0.01515064582355885 	 1.0153828094613708
66 	 3.156517195736159 	 0.014924542146365738 	 1.0151497898545698
67 	 3.126887566106529 	 0.014705087483263934 	 1.0149237237351745
68 	 3.1560846463985 	 0.014491992808706833 	 1.0147043044645367
69 	 3.127307667981234 	 0.014284985608559175 	 1.0144912431709854
70 	 3.155676462307475 	 0.014083808717682 	 1.0142842674811823
71 	 3.127704434335447 	 0.013888219254345913 	 1.0140831203593565
72 	 3.155290641231999 	 0.013697987642205867 	 1.0138875590421699
73 	 3.1280797568782575 	 0.01351289671153566 	 1.013697354062671
74 	 3.15492539446215 	 0.013332740872356919 	 1.0135122883511718
75 	 3.1284353282369843 	 0.01315732535280878 	 1.0133321564105497
76 	 3.1545791190866574 	 0.01298646549686433 	 1.013156763554002
77 	 3.128772667473754 	 0.012819986116038962 	 1.012985925204481
78 	 3.1542503744801236 	 0.01265772089033046 	 1.0128194662462862
79 	 3.129093141775721 	 0.01249951181407205 	 1.0126572204268247
80 	 3.1539378622726155 	 0.012345208682822406 	 1.0124990298029022
81 	 3.129397984972002 	 0.012194668617790949 	 1.012344744227968
82 	 3.1536404092144266 	 0.01204775562463345 	 1.012194220876884
83 	 3.129688313406043 	 0.011904340183749973 	 1.0120473238054173
84 	 3.1533569524592977 	 0.011764298869504586 	 1.011903923540093
85 	 3.129965139593801 	 0.011627513995992267 	 1.0117638966987668
86 	 3.153086526877038 	 0.011493873287244938 	 1.0116271256353273
87 	 3.1302293840198954 	 0.01136326956989775 	 1.0114934981119492
88 	 3.1528282540763923 	 0.011235600486599218 	 1.011362906989333
89 	 3.1304818853613083 	 0.01111076822848478 	 1.0112352499437802
90 	 3.1525813328751204 	 0.010988679285327319 	 1.0111104291960256
91 	 3.1307234093778527 	 0.010869244211940465 	 1.0109883512650906
92 	 3.1523450309994745 	 0.01075237740968138 	 1.0108689267318556
93 	 3.1309546566679236 	 0.010637996921869508 	 1.0107520700233263
94 	 3.152118677831945 	 0.010526024242151877 	 1.0106376992054829
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