Definition#

Für $\mathsf{n}\mathsf{+}\mathsf{1}$ Messpunkte $\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}\mathsf{,}{\mathsf{y}}_{\mathsf{i}}\mathsf{)}$ kann eine Splinefunktion ${\mathsf{s}}_{\mathsf{k}}$, hier ein Polynomspline, wie folgt definiert werden.

• Vorausgesetzt ist, dass die Messpunkte sortiert sind, d.h. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{0}}\mathsf{<}{\mathsf{x}}_{\mathsf{1}}\mathsf{<}\cdots \mathsf{<}{\mathsf{x}}_{\mathsf{n}}$

• für jedes $\mathsf{i}\mathsf{=}\mathsf{0}\dots \mathsf{n}\mathsf{-}\mathsf{1}$ ist ${\mathsf{s}}_{\mathsf{k}}$ ein Polynom vom Grad $\mathsf{k}$ auf dem Intervall $[{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}\mathsf{,}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}\mathsf{+}\mathsf{1}}]$

• ${\mathsf{s}}_{\mathsf{k}}$ ist auf $[{\mathsf{x}}_{\mathsf{0}}\mathsf{,}{\mathsf{x}}_{\mathsf{n}}]$ $\mathsf{(}\mathsf{k}\mathsf{-}\mathsf{1}\mathsf{)}$-mal stetig differenzierbar

Beispiele:

• $\mathsf{k}\mathsf{=}\mathsf{1}$: Polygonzug

• $\mathsf{k}\mathsf{=}\mathsf{3}$: kubische Polynomsplines (B-Splines)

Kubische Splines#

Die in der Praxis häufig eingesetzten kubischen Polynomsplines ${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}$ ($\mathsf{k}\mathsf{=}\mathsf{3}$) haben folgende Eigenschaften:

• ${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}\mathsf{|}[{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}\mathsf{,}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}\mathsf{+}\mathsf{1}}]\mathsf{=}{\beta }_{\mathsf{0}}\mathsf{+}{\beta }_{\mathsf{1}}\mathsf{x}\mathsf{+}{\beta }_{\mathsf{2}}{\mathsf{x}}^{\mathsf{2}}\mathsf{+}{\beta }_{\mathsf{3}}{\mathsf{x}}^{\mathsf{3}}$

• ${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}$ ist zweimal stetig differenzierbar auf $[{\mathsf{x}}_{\mathsf{0}}\mathsf{,}{\mathsf{x}}_{\mathsf{n}}]$, also insbesondere an den Stützpunkten ${\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}$ der Messpunkte

Die Koeffizienten ${\beta }_{\mathsf{i}}$ werden wie folgt bestimmt

• aus den $\mathsf{n}\mathsf{+}\mathsf{1}$ Messpunkten ergeben sich $\mathsf{n}$ Intervalle, d.h. mit jeweils vier Koeffizienten sind es insgesamt $\mathsf{4}\mathsf{n}$ Koeffizienten

• Exakte Darstellung der Messpunkte ($\mathsf{n}\mathsf{+}\mathsf{1}$ Gleichungen), d.h.: ${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}\mathsf{)}\mathsf{=}{\mathsf{y}}_{\mathsf{i}}$

• Glattheitsbedingungen an den inneren Messpunkten ($\mathsf{i}\mathsf{=}\mathsf{1}\dots \mathsf{n}\mathsf{-}\mathsf{1}$), mit jeweils ($\mathsf{n}\mathsf{-}\mathsf{1}$ Gleichungen): $${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{\prime }\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}{\mathsf{)}}_{\mathsf{-}}\mathsf{=}{\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{\prime }\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}{\mathsf{)}}_{\mathsf{+}}$$$${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{″}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}{\mathsf{)}}_{\mathsf{-}}\mathsf{=}{\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{″}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}{\mathsf{)}}_{\mathsf{+}}$$$${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{‴}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}{\mathsf{)}}_{\mathsf{-}}\mathsf{=}{\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{‴}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{i}}{\mathsf{)}}_{\mathsf{+}}$$

• Damit sind es $\mathsf{4}\mathsf{n}\mathsf{-}\mathsf{2}$ Gleichungen für $\mathsf{4}\mathsf{n}$ Koeffizienten

Um die beiden fehlenden Gleichungen zu finden bzw. zu bestimmen werden Randbedingungen oder Abschlussbedingungen benötigt. Die gängigsten Bedingungen sind:

• natürliche Splines: die Krümung am Rand verschwindet, d.h.: $${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{″}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{0}}\mathsf{)}\mathsf{=}{\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{″}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{n}}\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{0}$$

• periodische Splines: die Steigung und Krümung ist an beiden Rändern gleich $${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{\prime }\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{0}}\mathsf{)}\mathsf{=}{\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{\prime }\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{n}}\mathsf{)}$$$${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{″}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{0}}\mathsf{)}\mathsf{=}{\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{″}\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{n}}\mathsf{)}$$

• Hermite Splines: die Steigungen am Rand werden explizit vorgegeben (hier durch $\mathsf{u}$ und $\mathsf{v}$) $${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{\prime }\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{0}}\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{u}$$$${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}^{\prime }\mathsf{(}{\mathsf{x}}_{\mathsf{n}}\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{v}$$

Anwendung#

Im Folgenden werden zwei Beispiele, ${\mathsf{s}}_{\mathsf{1}}$ und ${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}$, für die Erstellung von Splines mit Python vorgestellt.

# Erzeugung von Messpunkten
n = 7
xi = np.linspace(0, np.pi, n)
yi = np.sin(xi)

Für die ${\mathsf{s}}_{\mathsf{1}}$ Splines, kann die Funktion np.interp verwendet werden. Sie führt eine lineare Interpolation zwischen gegebenen Wertepaaren durch.

# Wertebereich für die Visualisierung der Interpolation
x = np.linspace(0, np.pi, n*6)
y = np.sin(x)

# Interpolation
y_s1 = np.interp(x, xi, yi)

plt.plot(x,y, alpha=0.3, color='C2', lw=5, 
         label='Generierende Funktion')
plt.plot(x, y_s1, color='C0', label='Interpolation')
plt.scatter(x, y_s1, s=3, zorder=3, color='C0')
plt.scatter(xi, yi, color='C1', label='Messpunkte')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend();

Die ${\mathsf{s}}_{\mathsf{3}}$ Splines können mit Funktionen aus dem scipy-Modul berechnet werden. Dazu werden zunächst die Koeffizienten bestimmt (scipy.interpolate.splrep) und diese ermöglichen die gewünschte Auswertung, welche mit der Funktion scipy.interpolate.splev vorgenommen werden kann.

import scipy.interpolate as si

s3 = si.splrep(xi, yi)
y_s3 = si.splev(x, s3)

plt.plot(x,y, alpha=0.3, color='C2', lw=5, 
         label='Generierende Funktion')
plt.plot(x, y_s3, color='C0', label='Interpolation')
plt.scatter(x, y_s3, s=3, zorder=3, color='C0')
plt.scatter(xi, yi, color='C1', label='Messpunkte')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend();