Intervallschachtelung

Aufgabenstellung

Gegeben sei eine Funktion \(f(x)=e^{0.5x} + 0.5x\). Finden Sie die Nullstelle auf dem Intervall \([-2,-1]\). Benutzen Sie die gleiche Methode, wie in Übung 1.3.

Lösungsvorschlag

1:    a = -2        b = -1        c = -1.5      f(c) = -0.278  
2:    a = -1.5      b = -1        c = -1.25     f(c) = -0.09  
3:    a = -1.25     b = -1        c = -1.125    f(c) =  0.007  
4:    a = -1.25     b = -1.125    c = -1.1875   f(c) = -0.041  
5:    a = -1.1875   b = -1.125    c = -1.15625  f(c) = -0.017  

Aufgabe 2

1: Finden Sie die Schnittpunkte der zwei folgenden Funktionen:

• \(f(x) = 2 \, \sin(x)\)

• \(g(x) = \cos(x) - 0.3\)

mit Hilfe der Intervallschachtelung auf dem Intervall \([0,\pi/2]\). Ihre Lösung sollte maximal um \(0.1\) von der analytischen Lösung abweichen.

2: Überlegen Sie sich, was geschehen würde, wenn Sie den Schnittpunkt zwischen den Funktionen \(f(x) =x^3 - x^2\) und \(g(x) = 4x-4\) auf dem Intervall \([-3,3]\) bestimmen wollen würden.

Lösung

1: Um die Schnittpunkte zweier Funktionen zu finden muss die Gleichung \(f(x) = g(x)\) gelöst werden, was äquivalent zum Lösen der Gleichung \(f(x) - g(x) = 0\) ist. Da sich das Problem nun darauf reduziert, die Nullstellen einer Kurve zu finden, können wir Intervallschachtelung verwenden:

a = 0       b = 1.5707
a = 0       b = 0.7894
a = 0       b = 0.3927
a = 0.1963  b = 0.3927
a = 0.2945  b = 0.3927

2: Das Finden des Schnittpunkts zwischen f(x) und g(x) ist dasselbe wie das Finden der Nullstellen von h(x) = f(x) - g(x). Wenn wir nun die gleiche Methode wie in Übung 1.3 anwenden, ergibt sich folgendes:

a = -3       b = 0
a = -3       b = -1.5
a = -2.25    b = -1.5
a = -2.25    b = -1.875
a = -2.0625  b = -1.875
a = -2.0625  b = -1.9688

Wenn Sie die Gleichung jedoch analytisch lösen, finden Sie 3 Nullstellen: -2,1,2. Die Intervallschachtelung kann maximal eine Nullstelle finden. Sie können sich jedoch nicht sicher sein, ob nicht noch andere Nullstellen auf dem Intervall existieren.