4.3. 2. Ableitung 2. Ordnung

In der Vorlesung wurde eine Nährung für die 2. Ableitung 2. Ordnung einer Funktion gegeben. Nun sollen Sie die Formel analytisch herleiten.

Aufgabenstellung

Leiten Sie die in der Vorlesung gegebene Formel für die 2. Ableitung 2. Ordnung einer Funktion her. Entwickeln Sie dazu die Funktion an den Stellen \(f(x_0 + h)\) und \(f(x_0 - h)\) bis zur 4. Ordnung und kombinieren Sie beide Gleichungen, sodass Sie nach \(f''(x_0)\) umstellen können.

Lösungsvorschlag

\[ f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{1}{2} f''(x_0)h^2 + \frac{1}{6} f'''(x_0)h^3 + \mathcal{O}(h^4)\]

\[ f(x_0 - h) = f(x_0) - f'(x_0)h + \frac{1}{2} f''(x_0)h^2 - \frac{1}{6} f'''(x_0)h^3 + \mathcal{O}(h^4)\]

\[ \Rightarrow f(x_0 + h) + f(x_0 - h) = 2 f(x_0) + f''(x_0)h^2 + \mathcal{O}(h^4)\]

\[ \Leftrightarrow f''(x_0) = \frac{f(x_0 - h) + 2 f(x_0) + f(x_0 + h)}{h^2} + \mathcal{O}(h^2)\]